反常积分的收敛判别法

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1、习题8.2反常积分的收敛判别法1. (1)证明比较判别法(定理8.2.2)；(2) 举例说明，当比较判別法的极限形式中心0或+ s时， f 处皿和厂f(x)dx的敛散性可以产生各种不同的的情况。解(1)定理8. 2. 2(比较判别法)设在g, + oo)上恒有O(x)5K0(x), 其中K是正常数。则当(p(x)dx收敛时jf(x)dx也收敛；当J ”/(x)dx发散吋j X(p(x)dx也发散。证 当J；卩(x)dx收敛时，应用反常积分的Cauchy收敛原理，Vf 0 , BAq a , VA, Ac : |j(p(x)cbc 于是松 f)dx J； K(px)dx 0 , VA0 a ,

2、HA, A* Ao :f(x)dx Ks o丿A于是(p(x)dx J； f(x)dx % K所以恥皿也发散。(2)设在a, + 30)上有/(x) 0,0(x) 0 ,且 lmi /=0 o 则当广 f(x)dx 0(x)Ja发散时，f(p(x)d.x也发散；但当f(x)d.x收敛吋，JJX(p(x)dx可能收敛,也可能发散。例如 f (A) = -V，(p(x) = (0 p2),则 lim 丄 = 0 0 显然有x2xpm(p(x)卩f(x)dx收敛,而对于广0(x)dx,则当1P2时收敛，当0p 0,(x) 0 9 I L lim =+oo。则当 XT+oc 從”丫)fX f(x)dx

3、收敛吋，厂0(x)dx也收敛；但当J* f (x)dx发散吋，:*0(x)dx可能发散，也可能收敛。例如 /(X)=，卩(X)= -(/?-),则 lim = +00 o 显然有JxXP2xt+oc (x)Jf* f(x)dx发散，iflj对于J(p(x)dx ,则当y /; 1时收 敛。2.证明Cauchy判别法及其极限形式(立理8.2.3)。证 定理8. 2. 3(Cauchy判别法)设在0, + 8)u (0, + oo)上恒有f(x) 0 ,K是正常数。若/(x) 1,则厂/(x)dx收敛；XpJa(2)若 /(x),且 p 0 ,且lmi X Jx) = I,XT+X则(1)若 0

4、/ 1,则X f(x)dx 收敛；若Ov/ -KO , 且P0时有1_Ll + xsin.v| 1 + x而积分厂占严发散所以积分卩諾函办发散。(4) 当 X T +O0 时,p_q所以在p-ql时，积分收敛，在其余情况下积分J厂匚办发散。九 1 + XP4.证明：对非负函数/(x), (cpv)匸:f(x)dx收敛与f(x)dx收敛是等 价的。证 显然，由C/(A)Jx收敛可推出(cpv)匚口皿收敛，现证明当 f(x) 0时町由(cpv)匸收敛推出if(x)dx收敛。由于(cpv) J fx)dx收敛，可知极限281#存在而口有限，由Cauchy收敛原理，rV0, 玖 0, VAA/lo：

5、|F(4)F(/V)| Ao与VB.B2為,成立) F(A)| 与F(F)|vc 这说明积分/(x)dx与J： /(x)dx都收敛，所以积分J/(x)dx收敛。5.讨论卜列反常积分的敛散性(包括绝对收敛、条件收敛和发散, 下同):(P”(x)和qn(x)分别是m和n次多项式,qn(x)在x w a,+s)范围无零点。)解(1)因为F(A)=sinxdx有界，业在2,乜)单调，且lim巴巴=0 , -hlXXT+OO 111X由Dirichlet判别法，积分收敛；-lnx282由于lnlnx .S111X luxIn Inx . 21 lnlnxISIR. X = 111X2 Inx(1 - c

6、os2x) , rfo积分f+8心发散，111 111 XluxcosIxdx收敛，所以积分dx发Sill .v散，即积分兽sm加条件收敛。111X当plllt, lsmvl0 士而广存收敛，所以当心时积分283#晋绝对收敛;当OvSl时，内为尸(A) = Jsmxdx有界，丄在l、g)单调，且hin + = 0 ,由Dkichlet判别法，积分葺厶收敛;但因为当0 v p 1 l时积分广呼dx发散，所以当0p1时，lSm VaiCtan Vl1时 灯2xp h xp积分psm.vaictanA绝对收敛；I当 0 p 1 nJ ,因为 /*(A) = jSHlAV 冇界，C在l,4_o0)单调

7、,且X. arctanxlmixp由Dirichlet判別法，积分rm.vaictanxJv收敛；但因 xp为当0 v /心1时积分J；30竺尹|smx|dx发散，所以当0 / +1 JZx充分大吋，有PsinX 5,可知当n m + l时 积分匕凹沁加绝对收敛。儿务当n = /? +1时，因为F（A） = mxdx有界，且当x充分人时，单调且hm上旦=0,F Qn 由Dirichlet判别法可知+xMHSinxdx收敛；但Ja乞由于当X T +CO时,易知厂鵜S*发散,所以当284#2? + 1时，积分-smxdx条件收敛。Ja么当V7 + 1时，由lim几”=A , A为非零常数、+8或-

8、8,易知 卄0 9“（X）积分匕凹smxdx发散。Ja乞6 设/（X）在0,b只有一个奇点x = b,证明定理8. 2. 3*和定理8. 2. 5 o定理8.2.3, （Cauchy判别法）设在0,b）上恒有f（x） 0 ,若当x属 于的某个左邻域仏-弔”）时，存在正常数K,使得 /(x)(b-xy且 1,则/（x）dx 收敛；（2） /（x）l 卩人，且 p21,则 （x）dx 发散。证（1）当g时，积分詁严收敛，由反常积分的Cauchy收 敛原理,0, 3J0 ,(0,J): Jz (lx由于It; g*皆詁討“，所以阳说收敛。(2)当p 1 Ibj*,积分f-d.i发散，由反常积分的Ca

9、uchy收敛原 )a(b-x)p理，由于鷹心十駕占所以J：f(X)dx发散。推论(Cauchy判别法的极限形式)设在gb)上恒有/(x)0,且hm(b - x)p f (x) = I, *-6-则(1) 若o/+,且；7i,则y(x)dx收敛；(2) 若0/ -x)r/(x) = /( p 1,0 / 0 , Vx g (/? - S.b): f(x) l,0/- 0 , Vx e (/? - 5、b): f(x) ,2(b-x)p再应用定理8. 2. 3,的(2)o定理& 2. 5，若下列两个条件之一满足，则心)小)办收敛:(1) (Abel判别法)f(x)dx收敛，g(x)在d,b)上单调

10、有界；(2) (Dirichlet 判别法)F()=/(x)dx在(0上-上有界，g(x)在a, b)上单调且 lim g(x) = 0。证(1)设|g(x)|SG,因为打(x)dx收敛，由Cauchy收敛原理,A fWdx e2G286#由积分第二中值定理,f(x)g(x)dxJ；f(x)dx + G /(x)d.q8 8G I = o2 2(2)设|F(?7)|0 , 35 0 , Vxe (h-8.b) g(x) 由积分第H11 4M 二中值定理,:fWg(x)dx Wg(A)|.J：f(x)dx+|g旺 f(x)dx2M| g(A)|+2M | g(/T)| 0 vtO+充分小时，有皿

11、屮V*；且|ln屮(x-l-)o所以当“-1时, 积分liiixp J.v收敛，当p 0+) , Xpl (1-X)gl (X T 1-)，所以在o. q0时积分匸严(1-兀严办收敛，在其余情况卜积分 -大)旷皿发散。(7) xp(l-x)ql Ihixl一-口11 (1-X尸1丄Inn x 2 （牙H （1 _ 乂）日| In x I） = 0,即当x 0充分小时，有x-0*xO-xjllnAj 0, q_l U寸积分 JApTU x） |lnx|dx 1- 0X 2收敛，在其余情况下积分0叫1-兀严|lnx|dx发散。288&讨论卜列反常积分的敛散性:J；斗希办（“以时）；厂吐卫dx; J

12、ovPf+301L皿_1)心_2)如八、r+ aictanx .Jo 办；解匸音心。氓办111 Xj八办Inx289#当p0, q0吋积分石二加与积分ddx显然收敛，且当U liix luxXT1时,沪- Elll.V(1 + ( 1)严 - 1- (1 +(X - 1)严- 1中斗和，x-1即j;宀E111Xdx不是反常积分，所以积分J； “ 一 W dx收敛。111 V#(2 ) (J 1:dx /1 dx 十 1= dx冷 x(jc -1)2(x-2)ljx(x 一 1尸(x - 2)-1)2(x-2)+/1dx Ox(x-l)x-2)因为1* x(x -1)2 (x 2)1*x(x-1

13、)2(x-2)肌(0+)，X3T(x f l_)， (x-l)J所以积分気芮詁厶收敛;#因为Y （牙 T +）9（X1）亍山（_2）*冷心2“Vx(x-1)2(x-2)所以积分f 1dx收敛;* Vv(x-1)2(x-2)因为11八(- (x 2+) 9畑一 1)2(2)迈(v_2)3 A(X - 4-00), /x(x-1)2(x-2) T所以积分-1 dx收敛。 #x(x 1)2(x 2)由此可知积分几2仁一严收敛。晋=怦护如严护加由吨丁）厶（x-0+）,可知当 1 时，lmiXT+OO111(1 + X)xp=0,即当x晋也召，其中咛儿可知当心时X 2积分J；岂兽dx收敛,0充分人时，有

14、，积分厂迴巳dx收 xp敛，当“si时，积分厂岂字2办发散;A290综上所述，当12时，积分f收敛，在其余情况下 I积分畔百心发散。（4）j+x aic tan x叮厶=p retail a + aictaiiA 。 LJo J1 xp由arctanx_L(x0+) nj知当卩2时积分上竺尹厶收敛;VA由詈缶(可知当心时积分广畔收敛。所以当Kp-),可知积分；：型S收敛。 创0-审2“所以当P0时积分(严*收敛，当“SO时积分Qx厂1 edx发散。292（7）需厶=匸宀办+广占乂。显然积分Q世訂发散;由于二（X T 0+）， 严爲 （X +O0）,所以当mm（p,7）1 ,且max（,q）l时

15、积分dx收敛，其余悄况 xp + xq下积分发散。jQ xp + x设小，则对任意的当航分大时，有治 因为X 丁孚l时积分rdx收敛，在其余情况下积分Cdxxp ln/ xxp In x发散。9.讨论卜列反常积分的敛散性:.字学厶（沦0）；+81 1 + 0“、f-woesm v cosx .fo 対；/八严严*sm2xfo 亍厶;293(5 &cos*如 1 1(6k X)J1 dx (/? 0).xp+0C沪解/却心培4+厂丹m由戸4?(x-0+)，沪11+F尹(2S可知当0p2时咅二办收敛，在其余情况下积分厂办发散。1 + X- 1 + X 当心-时由器V占，可知积分芒和绝对收294#敛

16、。当-1“V时，因为F(A) = J/sinxrfv有界，当x充分大时 一单l+xp调减少，且11111- = 0,由Dirichlet判别法，积分广兰竺/大收敛; 1 +対1 + x但因为积分广斗晋 dx发散，所以当p-lqp时积分詈厶条件收敛。当刊时，由于十时Q詈弘不趋于零，可知积分十30炉 S111X11 + Xdx发散。#COSX , dx osin rsmxsin x(3)cos/” pe cosdt f+xeJo “ h .sinx 21. sinx 介“ “由 汚厶(XT0+),可知当“VI时积分收敛,lXA在其余情况下积分上竺弓空dx发散。Azinx II当pvl时，易知积分f

17、xe Sdx发散；当P时，易知积分Ajin.Y匸广十厶发散。1时，因为严”cos皿一1,丄单调减少，且 VPi敛。综上所述，当0 卩1时，积分+oc esmv J -?C0S/x条件收敛，在其余帆+ = 0,由Dirichlet判别法；可知积分J；295#sinx情况下积分发散。 I（4）兰也兰也厶+广严JoJoJixPdx o#由严sm2x召（ - 0+）,可知当“ 2时积分（严曲匕收 xpxpxp敛，在其余情况卜积分建严严dx发散。当Kp2时，显然积分广严严 dx收敛；当pl时，易知m Y I积分2l：2x|厶发散;当时，易知积分广三当OvpVl时，因为旷以严”sm2加二0,可知 且丄单调

18、减少，hm-L = 0,由Dirichlet判别法，可知积分厂严;山2兀厶收敛。*xzinx -?综上所述，当lp2时积分ffe 2Xdx绝对收敛，当OvpG时积分J；+8严Sin2xdx条件收敛，在其余情况卜积分严5 2%发散。(5)令心亠，则+00 1 -cos tdi o l 3-pt于是可知当卩1时积分建+cos寺dx绝对收敛；当1P1时，因为(1sm x + I X-01 7t2 3,而级数血+ 2SU1Xz-z(7TPH7T + 2)发散，所以积分.发散；又因为X1sin(x +丄)1 1smcosx + cossm x1Z 注意到当X充分大时,1対1SU1 X1cos与 T 都是

19、单调减少的, xpsinx +丄由Diiiclilet判别法可知积分/, dx收敛，所以积分1Sill x+ X厶条件收敛。296#10.证明反常积分厂 X Sill X4 sinxdx 收敛。#证 对任意AH A* A ,由分部积分法,sm .rcosx4 4jCx sin x4 sin xdx = - J： 辻給 J (cos x4)A 4x2a” cos.r4 cos x/V 4x2, f f COSX4 SU1X , dx J 川；dx o2x3297显然，当4t+s时，等式右端的三项都趋于零，由Cauchy收敛原理, 可知反常积分x sin x4 sin xdx收敛。11.设/(X)

20、单调，且当XT0+时/(x)-+8，证明：f(x)cbc收敛的必要条件是lim xf(x) = 0 ox0+证首先由/(x)的单调性，对于充分小的0x 0 ,且0 |x(liix)/(x) a f X/x A ,有 |/(x)| A 时, 成立/2(x)|/(x)|o因为积分f绝对收敛，于是由比较判别法, 积分皿收敛。15若广厂(x)dx收敛，则称f(x)在a,+oo)上平方可积(类似可定义 无界函数在切上平方可积的概念)C(!)对两种反常积分分别探讨/(X)平方可积与f(x)的反常积分收 敛之间的关系；(2) 对无穷区间的反常积分，举例说明，平方可积与绝对收敛互 不包含；(3) 对无界函数的反常积分，证明：平方可积必定绝对收敛，但 逆命题不成立。(1)：；fWdx收敛不能保证厂厂厶收敛，例如:/w=smx则fVg收敛，但